https://pppi.sulselprov.go.id/-/slot-gacor/https://izv-tn.tti.sfedu.ru/-/slot-pulsa/http://dopovidi-nanu.org.ua/sites/default/files/slot-gacor/https://kiadvany.magyarhonvedseg.hu/public/journals/2/slot-deposit-dana/https://chasopys-ppp.dp.ua/public/site/slot-deposit-pulsa/https://www.ncst.mw/wp-content/uploads/slot-online/http://vocesyrealidadeseducativas.com/ojs/public/site/joker123/http://conference.4moms.com/https://www.publicacoes.unirios.edu.br/docs/manual/slot-deposit-pulsa/http://philol-izvestia.vspu.ru/public/journals/1/rtp-live/https://malawidiaspora.gov.mw/slot-deposit-pulsa/https://dopovidi-nanu.org.ua/ojs/styles/situs-slot-gacor/http://ojs3.bkstm.org/public/journals/1/togel-online/http://revistaaristas.tij.uabc.mx/public/link-slot-gacor/https://penerbit.undip.ac.id/pages/slot-deposit-pulsa/https://jurnal.madiunkab.go.id/pages/slot-gacor-4d/https://jurnal.madiunkab.go.id/public/site/slot-gacor-4d/https://perizinan.jambikota.go.id/frontend/web/slot-online/https://aar-healthcare.com/ke/wp-content/slot-dana/https://kphpmeratus.kaltimprov.go.id/-/slot-gacor/https://kphpmookmanoorbulatn.kaltimprov.go.id/public/slot-deposit-pulsa/https://jurnal.madiunkab.go.id/pages/slot-gacor/http://ejournalbidan.poltekkes-kaltim.ac.id/slot-gacor-maxwin/https://sitenar.madiunkab.go.id/public/-/slot88/https://pendidikanbahasaindonesia.umnu.ac.id/-/slot-dana/https://perizinan.jambikota.go.id/frontend/web/slot/https://siagaki.sulselprov.go.id/frontend/slot88/https://peternakan.umnu.ac.id/-/slot-deposit-pulsa/http://perizinan.jambikota.go.id/frontend/web/slot-pulsa/https://datadesacenter.dpmd.jatimprov.go.id/puem/assetshttps://datadesacenter.dpmd.jatimprov.go.id/assets/slot-pulsa/https://amerta.kemenkumham.go.id/file/slot-demo/https://www.ufrgs.br/nupegem/wp-content/slot-gacor/https://www.ufrgs.br/nupegem/slot-pulsa/https://kphpmookmanoorbulatn.kaltimprov.go.id/public/css/slot88/https://188.166.227.65/https://dishub.kukarkab.go.id/ppid/-/slot-gacor/http://prosiding.fisip.unsri.ac.id/-/slot-gacor/https://penerbit.undip.ac.id/-/slot-gacor/http://jurnal.amy.ac.id/public/-/slot-gacor/https://sipenta.bappeda.tulungagung.go.id/storage/slot-online/https://kphpmookmanoorbulatn.kaltimprov.go.id/public/web/slot88/https://jurnalpangriptav3.malangkota.go.id/pages/slot-gacor-maxwin-4d/https://jurnalpangriptav3.malangkota.go.id/js/slot-deposit-pulsa-terpercaya/http://prosiding.fisip.unsri.ac.id/pages/slot-pulsa-terpercaya/http://prosiding.fisip.unsri.ac.id/js/slot-dana/https://kecamatanrancabali.bandungkab.go.id/public/css/slot-deposit-pulsa/https://jurnalpangriptav3.malangkota.go.id/demo-slot/https://jurnalpangriptav3.malangkota.go.id/-/joker123/http://prosiding.fisip.unsri.ac.id/pages/slot-bonus-100/https://jurnalpangriptav3.malangkota.go.id/styles/sv388/https://www.ufrgs.br/rbml/styles/slot-demo/https://kec-girimaya.pangkalpinangkota.go.id/-/slot-gacor/https://stisnu-aceh.ac.id/wp-content/uploads/2022/10/togel-online/https://ptik.unp.ac.id/wp-content/slot-deposit-pulsa/https://www.ufrgs.br/rbml/-/bola88/https://siagaki.sulselprov.go.id/frontend/slot-gacor/https://siagaki.sulselprov.go.id/frontend/slot-online/https://wirausaha.deliserdangkab.go.id/slot-gacor/https://siapmaslahat.pasuruankab.go.id/api/storage/slot-gacor/https://paper.icprp.uii.ac.id/public/togel-online/https://e-suka.pn-lubukpakam.go.id/images/advokat/bocoran-admin-riki.htmlhttps://jescee.universitaspertamina.ac.id/pages/slot-dana/https://e-suka.pn-lubukpakam.go.id/images/advokat/slot-deposit-dana.htmlhttps://e-suka.pn-lubukpakam.go.id/images/advokat/slot-deposit-pulsa.htmlhttps://simpktn.kemendag.go.id/uploads/slot-onlinehttps://siapmaslahat.pasuruankab.go.id/api/storage/images/users/https://simpktn.kemendag.go.id/uploads/pragmatic88/https://simpktn.kemendag.go.id/uploads/slot-gacor/ 2015_9_12 | visnyk-nanu.org.ua

Вісник НАН України. 2015. № 9. С. 80–85.
https://doi.org/10.15407/visn2015.09.080

КАРПЕЛЬ Олена Михайлівна
кандидат фізико-математичних наук,
науковий співробітник Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України

ІНВАРІАНТНІ МІРИ НА ДІАГРАМАХ БРАТТЕЛІ
За матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України
17 червня 2015 року

Результати, висвітлені у доповіді, присвячено проблемі класифікації канторівських динамічних систем з точністю до орбітальної еквівалентності. Ключову роль у такій класифікації відіграє дослідження інваріантних мір для цих динамічних систем. Наведено повну класифікацію широкого класу як скінченних, так і нескiнченних борелiвських мiр на канторiвських просторах. Зокрема, отримано повну класифікацію ергодичних мiр, iнварiантних для аперiодичних пiдстановочних динамiчних систем. Такі міри є інваріантними для кофінального відношення еквівалентності на просторах шляхів стаціонарних діаграм Браттелі. Досліджено структуру ергодичних мір на просторі шляхів довільної діаграми Браттелі, зокрема, знайдено опис піддіаграм, які є носіями скінченних ергодичних інваріантних мір. Ці результати є суттєвим кроком на шляху вирішення відкритого питання щодо класифікації канторівських аперіодичних динамічних систем з точністю до орбітальної еквівалентності.

Ключові слова: канторівська динамічна система, ергодична інваріантна міра, діаграма Браттелі, орбітальна еквівалентність.

Вступ
Класична математична теорія динамічних систем виникла з ньютонової механіки в другій половині XVII ст. при вивченні рухів планет Сонячної системи. Ця теорія розвивалася впродовж XVIIІ і ХІХ ст. Засновником сучасної теорії динамічних систем вважають А. Пуанкаре, який наприкінці ХІХ ст. написав книгу «Нові методи небесної механіки». Наразі теорія динамічних систем є однією з важливих галузей математики, вона бурхливо розвивається і має численні застосування в різноманітних сферах науки. Наприклад, за допомогою цієї теорії моделюють фізичні процеси, які виникають, зокрема, у класичній механіці та термодинаміці, у біології при вивченні змін чисельності популяцій тварин, у хімії, метеорології, економіці, соціології тощо. При цьому вивчають якісну поведінку системи та її еволюцію з плином часу.

Будь-яка динамічна система складається з трьох елементів: фазового простору, точками якого є всі можливі стани системи, часу та закону, за яким система змінюється у часі. Зазвичай дуже важко відстежити траєкторію кожної конкретної точки в системі, але часто можливо описати якісну поведінку системи в цілому. Наприклад, рух планет сонячної системи є майже періодичним: для будь-якого початкового стану, система буде постійно повертатися в довільно малий окіл цього стану. Такі системи називають мінімальними. Термодинамічні системи демонструють іншу поведінку: ізольована термодинамічна система наближується до стану рівноваги. Цей стан називають атрактором, оскільки він притягує до себе траєкторії всіх точок. Відкрита термодинамічна система може мати цілу циклічну динамічну підсистему як атрактор. У метеорології є системи, що мають складну хаотичну поведінку (рис. 1).

З огляду на таку різноманітність у поведінці динамічних систем, природним чином постає завдання класифікації та систематизації отриманих результатів досліджень. У цьому допомагає такий розділ теорії динамічних систем, як символічна динаміка. Вперше символічна динаміка виникла в роботах М. Морса і Г. Хедлунда [1, 2] в першій половині XX ст. як метод вивчення довільних динамічних систем шляхом кодування траєкторій точок. У подальшому методи цієї теорії широко застосовували в інших галузях математики, зокрема в лінійній алгебрі, в теорії зберігання та кодування даних тощо. Також символічні системи, а саме, підстановочні динамічні системи, виникають у фізиці при вивченні спектра дискретного оператора Шредингера для моделювання електронних властивостей квазікристалів, за відкриття яких у 2011 р. видатний фізик і хімік Д. Шехтман отримав Нобелівську премію з хімії. Отже, символічна динамічна система є універсальною: будь-яку довільну динамічну систему можна розглядати як символічну. Таким чином, ключовим є питання класифікації символічних систем.

Фазовий простір символічних динамічних систем складається з нескінченних послідовностей символів, наприклад з усіх послідовностей, що складаються з нулів та одиниць. Найчастіше фазовий простір є канторівською множиною, тобто символічні динамічні системи є канторівськими. Є багато еквівалентних реалізацій канторівської множини. Залежно від ситуації зручно використовувати ту чи іншу реалізацію. Наприклад, згадана вище множина всіх нескінченних послідовностей з символів {0,1} є канторівською. Іншу реалізацію канторівської множини, яку винайшов Г. Кантор у XIX ст., називають стандартною. У просторі її можна отримати шляхом поступового викидання точок з одиничного куба (рис. 2). Канторівська множина являє собою континуум точок, що є цілком незв’язним, і нагадує пил. Її часто називають канторівським пилом. Ще однією реалізацією канторівської множини, яку використовують у математичній фізиці, є множина р-адичних чисел. Повний текст