Вісник НАН України. 2016. № 3. С. 77-82.
https://doi.org/10.15407/visn2016.03.076

БОЛЬШАКОВ Володимир Іванович —
доктор технічних наук, професор,
ректор Придніпровської державної академії будівництва та архітектури

ДУБРОВ Юрій Ісайович –
доктор технічних наук, професор кафедри матеріалознавства та обробки матеріалів
Придніпровської державної академії будівництва та архітектури

ПРО МОЖЛИВІСТЬ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ОБЧИСЛЮВАЛЬНО НЕЗВІДНИХ СИСТЕМ

У роботі показано, що ідентифікація обчислювально незвідних систем може здійснюватися лише шляхом звернення до літератури і мистецтва, оскільки тільки розум та інтуїція людини здатні відобразити всі можливі нюанси процесів, що відбуваються в цих системах.

Ключові слова: імітаційне моделювання, більярдна задача, дивний атрактор, фрактал, обчислювально незвідна система.

Пошук характеристик, що відображують стан обчислювально незвідних систем (точок системи), привів учених до вивчення геометричних властивостей дивних атракторів, які, як правило, мають канторівську або фрактальну структуру, що повторює себе в менших масштабах.

Прикладом фрактальної структури може слугувати система, характеристику якої наведено в роботі [1]. У цій праці, яка вийшла друком ще в 1905 р., Г.А. Лоренц опублікував дані аналізу однієї з більярдних задач, яку пізніше назвали двовимірним газом Лоренца. Суть задачі полягає в тому, що з певної точки на площині у певний момент часу в напрямку круглих відбивачів, розміщених на більярдному столі, викидають пружні кульки (рис. 1). Досягнувши одного з відбивачів, кулька відскакує за законом «кут падіння дорівнює куту відбиття». Траєкторії кульок, які вийшли під близькими кутами, швидко розбігаються, їхні напрямки стають випадковими і кульки заповнюють усе поле більярдного столу.

Теоретично доведено, що після третього зіткнення траєкторія кульки, що відбивається, є непередбачуваною [1], а це означає, що система є обчислювально незвідною, і справедливим є її трактування як глобально нестійкої. Число кульок суттєвої ролі не відіграє.

На основі теоретичних досліджень і проведених експериментів [2] стверджується, що глобальна нестійкість цієї системи має місце навіть тоді, коли на більярдному столі перебуває тільки одна кулька, за умови, якщо хоча б одна зі стінок більярдного столу опукла всередину. Стає очевидним, що глобальна нестійкість призводить до того, що поведінка системи стає хаотичною (непередбачуваною), і весь фазовий простір заповнюється рівномірно. На імітаційній моделі більярду проводили експерименти, які навели на ідею застосування цієї моделі як генератора випадкових чисел [3]. Для цього в алгоритмі, що імітує більярдну задачу, було передбачено можливість розбиття бортів більярдного столу на комірки, пронумеровані послідовно (наприклад, від 1 до 10⁴).

У моменти попадання кульки, що відбивається, в певну комірку число, яке в ній записано, і порядковий номер кульки фіксують у пам’яті комп’ютера і за цими даними будують графік (рис. 2). При цьому для додавання «більшої хаотичності» (як здавалося раніше дослідникам) у програму вводили можливість постійного змінення радіуса кульки, що відбивається; постійного змінення радіуса кривизни бортів більярдного столу; постійного руху куль-відбивачів заданими траєкторіями, які на рис. 1 показано пунктиром. Проведені експерименти свідчать, що одночасне включення всіх цих особливостей або кожної особливості окремо в динаміку більярдної задачі призводило до того, що досліджувана система через певне число ітерацій замість очікуваного підвищення її хаотичності перетворювалася з обчислювально незвідної на обчислювально звідну систему

Результат одного з експериментів, у якому роль кульки, що відбивається, відігравав промінь, встановлений під довільно заданим кутом до бортів більярдного столу, а роль круглого відбивача – будь-яка з чотирьох стінок більярду, увігнута всередину, наведено на рис. 2. З цього графіка видно, що при довільно заданих початкових умовах досліду, починаючи з певного моменту, спостерігалося повторення послідовності вибитих кулькою, що відбивається, чисел, записаних у комірках. Ліва частина графіка є полем рівномірно розподілених точок, права частина – це атрактор, поява якого свідчить про перетворення обчислювально незвідної системи на обчислювально звідну. Це усталений, такий, що піддається апроксимації, режим руху. Наочним прикладом з молекулярної фізики може слугувати хаотичний броунівський рух молекул газу. Якщо на шляху хаотичного руху молекул газу встановити будь-яку перешкоду, то цей рух обов’язково набуде ознак обчислювально незвідної системи, оскільки перешкода створює такі умови. Це відбувається остільки, оскільки траєкторія руху зображуючої точки замикається в окремій області, вийти з якої вона вже не може. Повний текст