Вісник НАН України. 2015. № 9. С. 80–85.
https://doi.org/10.15407/visn2015.09.080
КАРПЕЛЬ Олена Михайлівна –
кандидат фізико-математичних наук,
науковий співробітник Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
ІНВАРІАНТНІ МІРИ НА ДІАГРАМАХ БРАТТЕЛІ
За матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України
17 червня 2015 року
Результати, висвітлені у доповіді, присвячено проблемі класифікації канторівських динамічних систем з точністю до орбітальної еквівалентності. Ключову роль у такій класифікації відіграє дослідження інваріантних мір для цих динамічних систем. Наведено повну класифікацію широкого класу як скінченних, так і нескiнченних борелiвських мiр на канторiвських просторах. Зокрема, отримано повну класифікацію ергодичних мiр, iнварiантних для аперiодичних пiдстановочних динамiчних систем. Такі міри є інваріантними для кофінального відношення еквівалентності на просторах шляхів стаціонарних діаграм Браттелі. Досліджено структуру ергодичних мір на просторі шляхів довільної діаграми Браттелі, зокрема, знайдено опис піддіаграм, які є носіями скінченних ергодичних інваріантних мір. Ці результати є суттєвим кроком на шляху вирішення відкритого питання щодо класифікації канторівських аперіодичних динамічних систем з точністю до орбітальної еквівалентності.
Ключові слова: канторівська динамічна система, ергодична інваріантна міра, діаграма Браттелі, орбітальна еквівалентність.
Вступ
Класична математична теорія динамічних систем виникла з ньютонової механіки в другій половині XVII ст. при вивченні рухів планет Сонячної системи. Ця теорія розвивалася впродовж XVIIІ і ХІХ ст. Засновником сучасної теорії динамічних систем вважають А. Пуанкаре, який наприкінці ХІХ ст. написав книгу «Нові методи небесної механіки». Наразі теорія динамічних систем є однією з важливих галузей математики, вона бурхливо розвивається і має численні застосування в різноманітних сферах науки. Наприклад, за допомогою цієї теорії моделюють фізичні процеси, які виникають, зокрема, у класичній механіці та термодинаміці, у біології при вивченні змін чисельності популяцій тварин, у хімії, метеорології, економіці, соціології тощо. При цьому вивчають якісну поведінку системи та її еволюцію з плином часу.
Будь-яка динамічна система складається з трьох елементів: фазового простору, точками якого є всі можливі стани системи, часу та закону, за яким система змінюється у часі. Зазвичай дуже важко відстежити траєкторію кожної конкретної точки в системі, але часто можливо описати якісну поведінку системи в цілому. Наприклад, рух планет сонячної системи є майже періодичним: для будь-якого початкового стану, система буде постійно повертатися в довільно малий окіл цього стану. Такі системи називають мінімальними. Термодинамічні системи демонструють іншу поведінку: ізольована термодинамічна система наближується до стану рівноваги. Цей стан називають атрактором, оскільки він притягує до себе траєкторії всіх точок. Відкрита термодинамічна система може мати цілу циклічну динамічну підсистему як атрактор. У метеорології є системи, що мають складну хаотичну поведінку (рис. 1).
З огляду на таку різноманітність у поведінці динамічних систем, природним чином постає завдання класифікації та систематизації отриманих результатів досліджень. У цьому допомагає такий розділ теорії динамічних систем, як символічна динаміка. Вперше символічна динаміка виникла в роботах М. Морса і Г. Хедлунда [1, 2] в першій половині XX ст. як метод вивчення довільних динамічних систем шляхом кодування траєкторій точок. У подальшому методи цієї теорії широко застосовували в інших галузях математики, зокрема в лінійній алгебрі, в теорії зберігання та кодування даних тощо. Також символічні системи, а саме, підстановочні динамічні системи, виникають у фізиці при вивченні спектра дискретного оператора Шредингера для моделювання електронних властивостей квазікристалів, за відкриття яких у 2011 р. видатний фізик і хімік Д. Шехтман отримав Нобелівську премію з хімії. Отже, символічна динамічна система є універсальною: будь-яку довільну динамічну систему можна розглядати як символічну. Таким чином, ключовим є питання класифікації символічних систем.
Фазовий простір символічних динамічних систем складається з нескінченних послідовностей символів, наприклад з усіх послідовностей, що складаються з нулів та одиниць. Найчастіше фазовий простір є канторівською множиною, тобто символічні динамічні системи є канторівськими. Є багато еквівалентних реалізацій канторівської множини. Залежно від ситуації зручно використовувати ту чи іншу реалізацію. Наприклад, згадана вище множина всіх нескінченних послідовностей з символів {0,1} є канторівською. Іншу реалізацію канторівської множини, яку винайшов Г. Кантор у XIX ст., називають стандартною. У просторі її можна отримати шляхом поступового викидання точок з одиничного куба (рис. 2). Канторівська множина являє собою континуум точок, що є цілком незв’язним, і нагадує пил. Її часто називають канторівським пилом. Ще однією реалізацією канторівської множини, яку використовують у математичній фізиці, є множина р-адичних чисел. Повний текст