Вісник НАН України. 2017. № 1. С.91-99
https://doi.org/10.15407/visn2017.01.089

ПОКУТНИЙ Олександр Олексійович -
кандидат фізико-математичних наук, докторант, старший науковий співробітник лабораторії крайових задач теорії диференціальних рівнянь відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України

ТЕОРІЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРНО- ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

За матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року

Доповідь присвячено дослідженню крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь у просторах Фреше, Банаха та Гільберта. Розглянуто моделі квантової механіки для операторного рівняння Шредінгера в просторі Гільберта, які пов’язані з теорією необоротних процесів. Одним із застосувань розглянутої проблеми є нелінійна періодична крайова задача для рівняння Ван дер Поля в просторі Гільберта. Така модель широко використовується в біології, хімії, для побудови нейронних моделей тощо. Отримано необхідні та достатні умови розв’язності відповідних крайових задач. Для лінійних та нелінійних задач знайдено множини розв’язків та запропоновано ітеративні алгоритми побудови відповідних розв’язків.

Ключові слова: хаос, синергетика, проблеми Гільберта, біфуркації, рівняння Ван дер Поля, псевдообернені за Муром–Пенроузом оператори, нейронні моделі.

У 1900 р. на міжнародному конгресі математиків у Парижі Давід Гільберт сформулював свої 23 проблеми, які XIX століття залишило майбутнім поколінням математиків. На його погляд, ці проблеми повинні були зумовити основні напрями подальшого розвитку науки. Серед 23 проблем Гільберта чільне місце посідає двадцята проблема – загальна задача про граничні умови, яким і присвячено частину доповіді [1].

Одним із напрямів досліджень є питання про існування розв’язків операторно-диференціальних крайових задач з оператором у лінійній частині, що має не обов’язково замкнену множину значень та нетривіальні ядро і коядро. Для лінійних рівнянь вигляду

Lx = y                                                                        (1)

з незамкненою множиною значень було запропоновано конструкцію розширення вихідного простору [2, 3] таким чином, щоб оператор, розширений на нього, був нормально розв’язним (тобто мав замкнену множину значень) з тим, щоб використати раніше відомі результати для нормально розв’язного оператора [4]. Конструкція узгоджується з існуючими класичними конструкціями й дозволяє визначити нові типи розв’язків рівняння (1). Розглядаючи такі задачі, необхідно було ввести означення сильного псевдооберненого оператора та встановити його властивості [2, 3].

Зауважимо, що, як правило, досліджуються некоректні (нерегулярні або резонансні) задачі [5]. Це клас задач, розв’язки яких нестійкі до малих змін вхідних даних. Вони характеризуються тим, що малі зміни вхідних даних можуть спричинювати великі зміни розв’язків. Такого типу задачі належать до класу некоректних задач [5]. Якщо вхідні дані відомі наближено, то така нестійкість призводить до неєдиності розв’язків. Виникнення резонансів ускладнює простоту динамічного руху і може призвести до «катастрофи Пуанкаре» [6]. Для представлення множини розв’язків таких задач зручним виявився апарат теорії узагальнено-оберенених та псевдообернених за Муром–Пенроузом операторів і матриць, які й використовуються в дослідженнях [2–4]. Для повноти викладення наведемо відповідні означення.

Означення 1. Щільно визначений оператор L, що діє з одного банахового простору B₁ в інший B₂, називається нормально розв’язним, якщо його множина значень замкнена R(L) =   [4].

Означення 2. Оператор L  Î ℒ(B₁, B₂) називається узагальнено-оборотним (напівоберненим), якщо існує оператор X Î ℒ(B₂, B₁) такий, що LXL = L. Оператор X називається узагальнено-оберненим до оператора L і позначається L^– [4].

Означення 3. Якщо оператор LΠℒ(H₁, H₂) діє з простору Гільберта H₁  в простір Гільберта H₂, то з множини узагальнено-обернених операторів L^– Î ℒ(H₂, H₁) можна обрати єдиний, що задовольняє властивостям:

1. LL^–L = L;                 2. L^–LL^– = L^–;

3. (LL^–)^* = LL^–;                        4. (L^–L)^*= L^–L.

Такий оператор називають псевдооберненим за Муром–Пенроузом оператором і позначають L⁺ [4].

Нехай n = n(L) = dimN(L), m = m(L) = dimN(L^*). Індекс оператора визначається як число indL = n(L)−m(L). Згідно з класифікацією Крейна [7], нормально розв’язний оператор, у якого n(L) або m(L) скінченне, називається n-нормальним або d-нормальним оператором відповідно. У випадку, коли обидва числа n(L) та m(L) є скінченними, оператор L називається нетеровим. Якщо ж додатково оператор L є оператором нульового індексу, то він називається фредгольмовим.

Наведемо відповідну конструкцію побудови сильного псевдооберненого оператора і теорему відносно представлення розв’язків рівняння (1).

Нехай L : H₁  H₂ – лінійний обмежений оператор, що діє в просторах Гільберта. Розкладемо простори Гільберта H₁ та H₂ в ортогональні суми

H₁ = N(L) X, H₂ = clR(L) Y.

Тут X = N(L )^{^}, Y = clR(L) ^{^}, clR(L) означає замикання множини значень R(L). В силу представлення, існують оператори ортогонального проектування P_N(L), P_X та P_clR(L), P_Y на відповідні підпростори. Позначимо через H фактор-простір простору H₁ за ядром N(L) (H = H₁/N(L)). Тоді існує неперервна бієкція j : X  H та проекція p : H₁ H.

Трійка (H₁, H, j) є локально тривіальним розшаруванням з типовим шаром P_N(L)H. Визначимо тепер оператор

L_X =P_R(L)L^–1p : X  R(L)  clR(L).

Легко переконатися в тому, що визначений так оператор L_X є лінійним, ін’єктивним та неперервним. Тепер, скориставшись процесом поповнення за нормою ||x||_X = ||L_Xx||_F, де F = R(L), отримаємо новий простір clX та розширений оператор clL_X. Тоді цей оператор

clL_X : clX clR(L), X clX

буде здійснювати гомеоморфізм між clX та clR(L). Розглянемо розширений оператор

clL = clL_XP_X : clH₁  H₂,

clH₁ = N(L) clX, H₂ = R(clL)  Y.

Зрозуміло, що clLx = Lx, x Î H₁ і оператор clL є нормально розв’язним.

Означення 4. Оператор clL⁺ : H₂ H₁ будемо називати сильним псевдооберненим до оператора L.

Зауваження. З цього означення випливає, що сильний псевдообернений оператор до оператора L є псевдооберненим оператором до оператора clL.

Отже, до L можна застосовувати результати, аналогічні результатам з нормально розв’язним оператором.

Теорема 1 [2, 3].

1.1. Сильні узагальнені розв’язки рівняння (1) існують тоді й тільки тоді, коли елемент y Î H₂  задовольняє умові

( ,y) = 0,  P_N(clL*)y =0                 (2)

для всіх  таких, що clL*  = 0; якщо y Î R(L), отримані розв’язки будуть класичними.

1.2. Якщо умова (2) виконується, то множина сильних узагальнених розв’язків рівняння (1) буде мати вигляд

x = clL⁺y + P_N(L)c, c Î H₁.

2.1. Узагальнені псевдорозв’язки рівняння (1) існують тоді й тільки тоді, коли елемент y Î H₂ задовольняє умові

( ,y) 0.                                                  (3)

2.2. Якщо умова (3) виконується, то множина узагальнених псевдорозв’язків буде мати вигляд

x = clL⁺y + P_N(L)c, c Î H₁.

Зауваження. Узагальнений псевдорозв’язок мінімізує нев’язку рівняння (1) в розширеному просторі clH₁.

Зазначимо, що отримані результати узгоджуються з відомими класичними, які отримуються як наслідок й у тому випадку, коли оператор L є оборотним і рівняння (1) має єдиний розв’язок.

Повний текст (PDF)